시계열 분석 기법과 응용[Postec 전치혁 교수] Week5-2 GARCH: ARCH의 일반화 형태

*이 포스트는 포스택 전치혁 교수님의 K-mooc 강의, 시계열 분석 기법과 응용을 기반으로 작성되었습니다.

 

GARCH (Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity) 모형

말그대로 ARCH 모형의 Generalized 된 버전을 의미한다. 

기존의 ARCH 모형은 조건부 분산$\sigma_t^2$이 아래와 같이 제곱오차항들에 대한 MA형태였다면 ,

$$\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1u_{t-1}^2 + \dots + \alpha_qu_{t-1}^2$$

GARCH는 기존 ARCH의 항 뒤에 조건부 분산항의 과거 시차를 추가한 개념이다.

$$\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1u_{t-1}^2 + \dots + \alpha_qu_{t-1}^2 + \beta_1\sigma_{t-1}^2 + \dots + \beta_p\sigma_{t-p}^2$$

 

증명을 해보면 GARCH모형은 제곱오차항이 ARMA모형을 따르게 된다고 한다.

 

GARCH 모형의 정상성 조건

ARCH모형과 동일한 방식으로 두번째 식을 유도할 수 있고, 마찬가지로 분산이 0보다 커야 하기 때문에 정상성 조건이 위와 같은 형태로 나타난다고 한다.

 

GARCH 모형의 예측

이번엔 GARCH 모형의 예측이 어떻게 이루어지는지 알아보자. 먼저 가장 간단한 선형 모형인 $Y_t = c + u_t$를 평균방정식이고, 분산방정식을 GARCH(1,1)이라고 하면, 시계열 예측 $f_{T+k} = E[Y_{t+k}|Y_T, ...]$의 형태가 될 것이고(실제 데이터가 아니라 이론적 모형이므로) 이는 다시 $E[Y_{T+K}|Y_T,...]=c$가 된다.

 

반면 분산에 대한 예측은 상수c에 대한 분산은 0이 되므로 $v_{T,k} = Var[Y_{T+k}|Y_T, ...] = Var[u_{T+k}|Y_T,..]$ 이되고, 이전장에서 보였듯 이는 다시 $E[\sigma_{T+K}^2|Y_T,...]$의 형태로 표현될 수 있었다.

 

위의 유도는 분산에 대한 예측자체가 조건부 분산 즉 변동성을 예측할 수 있게 됨을 의미한다. (금융상품일 경우 다음 시점의 수익률을 예측하기는 어렵지만 변동성을 예측함으로써 상당한 정보를 얻을 수 있다. )

 

위 그림의 조건부 분산 (변동성) 예측부분을 살펴보면,

각각의 $\alpha, \beta$는 추정을 통해서 구해야 하며  $u_T$, $\sigma_T$는 이미 시계열이 관측된 상황이므로 값을 대입하면 다음 시점의 변동성을 예측할 수 있다. (2, 3단계 등도 마찬가지)

 

GARCH 모형의 변형

GARCH-M 모형: ARCH-M과 같이 평균방정식에 조건부 분산을 포함시킨 모형이고, 분산방정식만 GARCH 모형으로 변경된 것이다.

E-GARCH 모형: Exponential-GARCH모형으로, 변동성 자체가 아닌 변동성에 log를 씌운 모형을 분산방정식으로 사용하는 것이다. 내부를 살펴보면 summation 안의 분자에 $u_{t-i}$의 절댓값을 씌운 형태가 있음을 확인할 수 있는데, 이 부분을 활용해 나쁜 뉴스에 대해 조금 더 가중치를 줄 수 있도록 설계된 비대칭 모형이다.

 

T-GARCH 모형: E-GARCH 모형과 비슷하게, I라는 변수를 이용해 비대칭성을 유발하였다.